Sistemas de ejes en ESwin.

Todo cálculo estructural tiene como fin la determinación de unos esfuerzos y desplazamientos en unos puntos característicos de la estructura, a partir de los cuales es posible obtener esfuerzos en cualquier sección de una barra, lo que a su vez permite calcular los estados tensionales y de deformación de cualquier punto de una sección. Todas las magnitudes implicadas en este proceso (fuerzas, momentos, desplazamientos, giros, tensiones, etc.) son magnitudes vectoriales, que deben apoyarse en unos sistemas de ejes, que deben conocerse bien para poder interpretar correctamente tanto la entrada de datos como la salida de un programa de cálculo estructural.

El sistema de ejes que define la posición de los nudos de la estructura es el sistema global. Es un único sistema de ejes, denominados X, Y, Z, (siendo XY el plano horizontal y Z el eje vertical) que puede mostrarse u ocultarse en el programa haciendo uso de la opción de menú Ver/Ocultar Ejes globales (). Estos ejes aparecen representados en la parte inferior izquierda del área de dibujo:

Estos ejes están planteados de manera que XY el plano horizontal y Z el eje vertical, ya que el programa considera siempre el peso propio de los elementos estructurales actuando en dirección -Z.

3.1.- Ejes locales de barras.

Cada barra cuenta con unos ejes propios (x', y', z') que forman el sistema local.  Como en el caso anterior, ESwin ofrece la opción Ver/Ocultar Ejes locales (). Este sistema de ejes depende de la orientación de la barra:

• El eje z' es el definido por la directriz de la barra, en sentido i -> j, donde "i" es el nudo inicial y "j" es el nudo final (estos nudos son "nudos gráficos"). Para saber, en una determinada barra, cuál es el nudo inicial y cuál es el final, puede fijarse en los ejes locales, o bien editar la barra, y consultarlo en el croquis de la parte superior derecha del cuadro de propiedades (común a todas las barras):

En cualquier caso puede permutar los nudos inicial y final haciendo uso de la herramienta Edición/Invertir.

• Los ejes x' e y' definen el plano de cada una de las secciones de las barras, y son los ejes sobre los que se definen los valores estáticos de la sección (no son necesariamente ejes principales). Su posición depende de la rotación de la barra con respecto a su eje z'. Cuando la rotación de la barra es 0º y ésta es horizontal, el eje x' es horizontal y el eje y' es vertical y hacia arriba. Cuando la rotación de la barra es 0º y ésta es vertical, el eje x' coincide con el X y el eje y' con el Y. La siguiente figura muestra dos grupos de tres barras con sus ejes locales representados cuando su rotación es 0º (izquierda) y 45º (derecha). Como puede observarse, la rotación se mide con respecto a la posición de los ejes locales cuando la barra tiene 0º, considerándose positivo el sentido anti horario.

3.2.- Ejes locales de superficies.

En el caso de superficies, los ejes locales determinan el sentido de las líneas de cálculo. Cuando la superficie es unidireccional, sólo existen líneas de cálculo en el eje x' de la superficie, mientras que en el caso de superficies bidireccionales existen también líneas de cálculo en sentido y'. Cuando la estructura se representa en modo alámbrico, se representan las líneas de cálculo de las superficies, siendo rojas las que van en sentido x' y verdes las que van en sentido y':

En el caso de superficies, el eje x' es la directriz. Cuando dibuja una superficie mediante un contorno cerrado, el primer segmento del contorno determina la orientación del eje x'. Si desea modificarlo, puede hacerlo desde Insertar/Dirección ().

El eje z' siempre es perpendicular a la superficie, y en el caso particular de superficies destinadas a trabajar como horizontales (forjados y cubiertas), el programa siempre lo orienta automáticamente hacia arriba. En otras superficies (muros y superficies unidireccionales), el eje z' dependerá del sentido del eje x', quedando el primero siempre a la izquierda del segundo. Como en el caso de barras, puede invertir la orientación de los ejes locales de la superficie con la herramienta Edición/Invertir.

Los ejes locales de una superficie se muestran en pantalla con la opción Ver/Ocultar Ejes locales ().

Independientemente de los ejes anteriores, la discretización de las superficies genera unos elementos tipo barra que son los que finalmente se utilizan en el cálculo. Estos elementos tipo barra tienen un sistema de ejes propios idéntico a de las barras normales, que llamaremos x_L', y_L', z_L'. Estos son los ejes que se utilizan, por ejemplo, cuando se muestran los resultados de una correa que pertenece a una cubierta ligera, o cuando se muestran los esfuerzos sobre las viguetas de un forjado unidireccional.

4.1.- Cálculo de esfuerzos y desplazamientos en nudos.

Tras introducir en el programa toda la geometría de una estructura, a ESwin termina llegando un conjunto de nudos y barras, todas ellas con su sistema de ejes locales y con un sistema de ejes globales, que termina resolviendo por el método de la rigidez.

Cada nudo de la estructura tendrá 6 grados de libertad, que son las tres traslaciones y los tres giros según  los ejes globales (X, Y, Z). Por tanto, una estructura con "n" nudos, tendrá 6n grados de libertad.

Cuando se ejerce una fuerza o momento en un grado de libertad, se obtiene un desplazamiento en todos y cada uno de los grados de libertad de la estructura. Por ejemplo, la estructura de la figura siguiente tiene representados sus 12 grados de libertad del plano XY. Si se ejerce una fuerza F, que actúa sobre el grado de libertad 4, se obtendrán desplazamientos en los 12 grados de libertad de la estructura.

Se conoce como coeficiente de rigidez (K_i,j)  la relación que existe entre la fuerza aplicada en el grado de libertad "i" y el desplazamiento obtenido en el grado de libertad "j". Conociendo todos los coeficientes de rigidez de una estructura es posible construir la matriz de rigidez (K), que permite plantear un sistema de ecuaciones que permite despejar las fuerzas externas (F) y desplazamientos (D) desconocidos:

Tanto fuerzas como desplazamientos van referidas en el sistema anterior a los ejes globales (X, Y, Z). Por tanto, todos los resultados que se obtienen del cálculo matricial, es decir, reacciones y desplazamientos en nudos, van referidos a estos ejes.

El coeficiente de rigidez correspondiente a dos grados de libertad se obtiene como la suma de los coeficientes de rigidez parciales de las barras que participan en dicho grado de libertad; a su vez, cada uno de esos coeficientes parciales depende de las propiedades mecánicas de cada barra (longitud, momentos de inercia, área y propiedades del material). Por ejemplo, el coeficiente parcial de la barra a-b en el grado 4 sería 12EI/L³, y en el caso de la barra b-c sería EA/L. Por tanto, el coeficiente de rigidez de la matriz en ese grado de libertad sería: k_4-4=12EI_ab/L_ab³+EA_bc/L_bc.

Los coeficientes de rigidez parciales se calculan a partir de unas expresiones fijas que dependen de las condiciones de contorno de la barra, para sus ejes locales, obteniendo unas submatrices referidas a estos ejes que se deben multiplicar por una matriz de cambio de coordenadas para poder trasladar los coeficientes a la matriz de rigidez de la estructura.

4.2.- Cálculo de esfuerzos en barras.

Un nudo estará sometido a unas fuerzas internas que se reparten, manteniendo el equilibrio, entre las barras que llegan al nudo. Ese reparto de fuerzas internas se puede obtener a partir de los desplazamientos y fuerzas externas calculadas en ese nudo y de las submatrices de coeficientes parciales de rigidez. Así, para empezar a calcular esfuerzos en barras, el programa parte de unos esfuerzos en ejes locales, que son los que puede consultar en los resultados de esfuerzos en nudos:

Para obtener los esfuerzos en la barra, las fuerzas internas en nudos se transforman al sistema de ejes local de la barra estudiada:

Ahora bien, con el sistema de ejes local, si se calcularan los esfuerzos recorriendo la barra en sentido i->j se obtendría el mismo resultado, pero con signo contrario, que si se recorriera en sentido j->i:

Para que el signo de los esfuerzos sea consistente, se invierte el sentido de los ejes de uno de los nudos, obteniendo así el sistema de ejes de cálculo (x,y,z).  No existe una regla que determine en cuál de los dos nudos gráficos se invierte el sentido de los ejes, ya que ESwin indexa los nudos de cálculo de forma dinámica cada vez que abre el documento, para evitar el almacenaje de datos innecesarios en el fichero del proyecto, de manera que el orden de definición de las barras gráficas no tiene por qué coincidir con el orden de definición de las barras de cálculo. Este sistema de ejes de cálculo no es percibido por el usuario en ningún momento.

4.3.- Resultados mostrados en gráficas y listados.

4.3.1.- Listados de esfuerzos en nudos.

Este listado muestra los resultados en ejes globales (X, Y, Z). El listado muestra el reparto de fuerzas internas del nudo para cada una de las barras. Si no existen fuerzas externas en el nudo, la resultante de fuerzas debe ser cero para garantizar el equilibrio:

4.3.2.- Listados de esfuerzos en barras.

Este listado muestra los resultados en los ejes de cálculo, que como se mencionaba antes, son los ejes locales (x', y', z'). El signo de los esfuerzos dependerá de si los nudos de cálculo tienen correspondencia con los nudos gráficos. En caso afirmativo (caso más habitual), estos esfuerzos aparecerán como si se leyeran en sentido final->inicial, y en caso contrario sería al revés.

Debido a esa variabilidad, si en un listado de este tipo tiene dudas sobre el sentido de los esfuerzos, será preferible que utilice una gráfica 2D para representar los esfuerzos.

4.3.3.- Gráficas 2D.

Los resultados que se muestran en las gráficas 2D son los que resultan de los ejes de cálculo, pero los signos se modifican convenientemente para que los resultados en distintas barras de la misma gráfica sean coherentes entre sí. Además, en estas gráficas se muestran unos pequeños croquis que representan el sentido real del esfuerzo, para ayudar a interpretar el resultado.

Con esta homogeneización de signos se consigue que el aspecto de la gráfica se mantenga aunque se realicen modificaciones que no afectan al resultado del matricial, como puede ser invertir una barra o rotarla 180º sobre su eje longitudinal.